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Archive for the ‘Mathematics’ Category

[zz]整理的速算方法

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1.十几乘十几:
口诀:头乘头,尾加尾,尾乘尾。
例:12×14=?
解: 1×1=1
2+4=6
2×4=8
12×14=168
注:个位相乘,不够两位数要用0占位。

  2.头相同,尾互补(尾相加等于10):
口诀:一个头加1后,头乘头,尾乘尾。
例:23×27=?
解:2+1=3
2×3=6
3×7=21
23×27=621
注:个位相乘,不够两位数要用0占位。

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Written by apollozhao

2012/02/06 at 14:12

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[zz]数学常数e的含义

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1.

e是一个重要的常数,但是我一直不知道,它的真正含义是什么。

它不像π。大家都知道,π代表了圆的周长与直径之比3.14159,可是如果我问你,e代表了什么。你能回答吗?

维基百科说:

“e是自然对数的底数。”

但是,你去看“自然对数”,得到的解释却是:

“自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。”

这就构成了循环定义,完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很”自然”,这难道不是很奇怪的事情吗?

2.

昨天我读到一篇好文章,它把这个问题解释得非常清楚,而且一看就懂。

它说,什么是e?简单说,e就是增长的极限。

下面就是它的解释。

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Written by apollozhao

2011/07/13 at 15:28

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鸡兔同笼问题新解

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博客作者注:

可以如此计算:

直接算鸡和兔抬起两只脚,则现在还有40-15*2=10只脚,都是兔子的。

则兔子有10/2=5只,鸡有15-5=10只。

 

部分答案转载自:http://blog.renren.com/share/230742523/6619322508

大家想必还记得鸡兔同笼问题吧?(给定鸡和兔的总个数和脚的总数,求分别有多少支鸡和兔)。。。当时为了绕过解方程。。我们的解题思路貌似是,假设所有的都是鸡,然后脚数少了若干只。。所以应该有些兔被误认为了是鸡,所以。。blablabla…

嗯,今天刷google buzz的时候无意间看到一个新的算法,更人性化,更容易理解:

       现在问题是,已知共有鸡和兔15只,共有40只脚,问鸡和兔各有几只。

算法:

  1. 假设鸡和兔训练有素
  2. 吹一声哨,它们抬起一只脚,(40-15=25)
  3. 再吹一声哨,它们又抬起一只脚,(25-15=10)
  4. 这时鸡都一屁股坐地上了,兔子还两只脚立着
  5. 所以,兔子有10/2=5只,鸡有15-5=10只。

哈哈哈~~~~太有趣了~~~ 要是当年就有这么先进的算法,会有更多人喜欢数学滴~~~

Written by apollozhao

2011/05/22 at 16:49

[zz]再议统计生统经典书目

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from: http://blog.renren.com/share/223421102/3831395253#continueread

 

发现本科的统计即使学完了也非常粗浅,更何况没有好好学。下决心好好看一些大师之作。
Probability & Measure:
Probability Theory: Theory and Examples, 3rd edition, Richard Durrett 国内有第2版影印本
Probability and Measure, Patrick Billingsley
Convergence of Probability Measures, Patrick Billingsley
A Course in Probability Theory Revised, Kai Lai Chung
Mathematical Statitsics:
Introduction to Mathematical Statistics, Hogg & Craig (高教社出了第5版影印本)
Mathematical Statistics, Jun Shao
Mathematical Statistics, Peter J. Bickle
作为数理统计学的课本不错。茆诗松、王静龙的《高等数理统计》是国内用得很多的课本。
Inference:
Statistical Inference, Casella & Berger 是国外读统计基本必修的的一本书,国内有影印本。All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference, Larry Wasserman 是一本涵盖面很广的速成式的lecture notes样式的书,偏nonparametric。Theory of Statistics, Schervish 偏Bayesian和decision theory。此外还有: Testing Statistical Hypotheses, Lehmann & Romano, Theory of Point Estimation, Lehmann & Casella。更多的advanced topics举不胜举。
Asymptotics & large sample theory:
A Course in Large Sample Theory, Ferguson 是很好的教本,
Asymptotic Statistics, A. W. van der Vaart
Elements of Large Sample Theory, Lehmann
Approximation Theorems of Mathematical Statistics, Serfling

Linear Models & Regression:
Applied Linear Statistical Models, Kutner et al 或者 Introduction to Linear Regression Analysis, 3ed. Montgomery, Peck, Vining可以作为入门的Regression的教本。
C. R. Rao的Linear Statistical Inference and Its Application很值得看一看。Linear Regression Analysis, Seber & Lee写得也不错。国内写得很不错的教本是王松桂写的《线性模型引论》,科学出版社,但是稍有一些错误。

Generalized Linear Models数McCullagh & Nelder 最经典,入门可以用An Introduction to Generalized Linear Models, 3ed, Dobson & Barnett。
Generalized Linear Models: A Bayesian Perspective, Dey, Ghosh, Mallick
Categorical Data Analysis, Agresti是Categorical的经典。SAS和R做Categorical的手册都有出版,对于应用统计的research来说Categorical是很基本的。

Generalized, Linear, and Mixed Models, McCulloch & Seale
Linear Mixed Models for Longitudinal Data, Verbeke & Molenberghs
Semiparametric Regression, Ruppert, Wand, Carroll里面把nonpar & semipar和mixed model统一起来
SAS for Mixed Models, 2ed 和 Mixed Effects Models in S and S-Plus, Pinheiro & Bates 实现
An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, T.W. Anderson
Aspects of Multivariate Statistical Theory, Muirhead
Applied Multivariate Statistical Analysis, 6ed, Johnson and Wichern 国内有第6版影印本
Bayesian Data Aanlysis, Gelman, Carlin, Stern, Rubin
Bayesian Methods for Data Analysis, 3rd edition, Carlin & Louis
Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, James O. Berger
Theory of Statistics, Schervish
The Bayesian Choice, Christian P. Robert
Bayesian Theory, Bernardo & Smith
Generalized Linear Models: A Bayesian Perspective, Dey, Ghosh, Mallick
MCMC比较好的书有
Markov Chain Monte Carlo in Practice, Gilks & Richardson & Spiegelhalter
Monte Carlo Strategies in Scientific Computing, Jun S. Liu
Monte Carlo Statistical Methods, Robert & Casella
Nonparametric & Semiparametric:
Semiparametric Regression, Ruppert, Wand, Carroll
Applied Nonparametric Regressions, Wolfgang Härdle
Nonparametric and Semiparametric Models, Wolfgang Härdle et al
Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models, Bickel et al
All of Nonparametric Statistics, Larry Wasserman
Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks, Erich L. Lehmann
Generalized Additive Models, Hastie & Tibshirani
此外,推荐 Empirical Likelihood, Owen
Analysis of Longitudinal Data, Diggle, Heagerty, Liang, Zeger
Applied Longitudinal Analysis, Fitzmaurice, Laird, Ware
Linear Mixed Models for Longitudinal Data, Verbeke & Molenberghs
Missing Data & Causal Inference 比较好的书有
Statistical Analysis with Missing Data 2ed, Little & Rubin
Missing Data in Clinical Studies, Molenberghs & Kenward
Semiparametric Theory and Missing Data, Tsiatis
Applied Bayesian Modeling and Causal Inference from Incomplete-Data Perspectives这本书是Rubin这派几代人对causal inference的一个集成
Robins这派的东西就看paper吧,Robins & Morgan 09年也会出一本书
Unified Methods for Censored Longitudinal Data and Causality, Van der Laan & Robins
Missing Data in Longitudinal Studies, Daniels & Hogan
Bradley Efron写的2本书和Peter Hall的1本是Bootstrap的经典,
Bootstrap Methods and Their Application, Davison & Hinkley
Survival Analysis:
Counting Processes and Survival Analysis, Fleming & Harrington 非常难读但是确实非常经典
Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data. Klein & Moeschberger
Modeling Survival Data: Extending the Cox Model, Therneau & Grambsh 有大量的technique
The Statistical Analysis of Failure Time Data, Kalbfleisch & Prentice 第一版里处处有一些很好的idea,第二版又全面总结了近年的research development
Modelling Survival Data in Medical Research, 2nd edition, David Collett
SAS实现用Survival Analysis Using the SAS: A Practical Guide, Paul D. Allison
subtopics:
Analysis of Multivariate Survival Data, Hougaard
Bayesian Survival Analysis, Ibrahim, Chen, Sinha
Functional Data Analysis, Ramsay & Silverman

Elements of Statistical Learning, Hastie, Tibshirani, Friedman
Xiao-Hua Zhou的Statistical Methods in Diagnostic Medicine和Margaret Sullivan Pepe的The Statistical Evaluation of Medical Tests for Classification and Prediction是Diagnostic Test的经典。也有人用Bayesian方法做Clinical Trials的,可以在Bayesian Approaches to Clinical Trials and Health-Care Evaluation里面看到,作者是Spiegelhalter, Abrams, Myles.
一本极好的书叫《女士品茶:20世纪统计怎样变革了科学》(The Lady Tasting Tee: How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century),希望学习统计的都去看看。里面从Francis Galton, Karl Pearson, R. A. Fisher,讲到Jerzy Neyman, Emil J. Gumbel, Abraham Wald,Wassily Hoeffding, John Tukey, Florence David Nightingale, Frank Wilcoxon, L.J. Savage, George W. Snedecor, William Cochran, Gertrude Cox, Samuel Wilks, Henry Carver, I.J. Good, Bradley Efron, George Box的经历. 内容多为一些统计思想的原型,还有许多奇闻轶事。


希望大家多多补充!

 

 

 

 

源地址:http://blog.renren.com/GetEntry.do?id=327260584&owner=238603604

Written by apollozhao

2010/11/02 at 12:20

[zz]傅里叶变换,拉普拉斯变换和Z变换的意义

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from: http://blog.renren.com/GetEntry.do?id=466564676&owner=248425256

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

傅里叶变换是一种解决问题的方法,一种工具,一种看待问题的角度。理解的关键是:一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处理。

我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的,不知不觉中,其实是按照时间把信号进行分割,每一部分只是一个时间点对应一个信号值,一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后,其实还是个叠加问题,只不过是从频率的角度去叠加,只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但他确有固定的周期,或者说,给了一个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,那么给定一组周期值(或频率值),我们就可以画出其对应的曲线,就像给出时域上每一点的信号值一样,不过如果信号是周期的话 ,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明看懂了更好。

对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域特性,包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。

傅里叶变换就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说,用无数的正弦波,可以合成任何你所需要的信号。

想一想这个问题:给你很多正弦信号,你怎样才能合成你需要的信号呢?答案是要两个条件,一个是每个正弦波的幅度,另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧,频域上的相位,就是每个正弦波之间的相位。

傅里叶变换用于信号的频率域分析,一般我们把电信号描述成时间域的数学模型,而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣,而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。

傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦(余弦)信号组合而成,傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦(余弦)信号中振幅较大(能量较高)信号对应的频率,从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时,通过傅里叶变换做频谱分析,根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比,可以快速判断哪级齿轮损伤。

拉普拉斯变换,是工程数学中常用的一种积分变换。

它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。

拉普拉斯变换在工程学上的应用:应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示;在线性系统,控制自动化上都有广泛的应用。

在数字信号处理中,Z变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中,我们往往只需要分析信号或系统的频率响应,也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。那么,为什么还要引进Z变换呢?

Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢?傅里叶变换的物理意义非常清晰:将通常在时域表示的信号,分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱,频谱包括幅度谱和相位谱,分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界,频率是有明确的物理意义的,比如说声音信号,男同胞声音低沉雄浑,这主要是因为男声中低频分量更多;女同胞多高亢清脆,这主要是因为女声中高频分量更多。对一个信号来说,就包含的信息量来讲,时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢?因为有的信号主要在时域表现其特性,如电容充放电的过程;而有的信号则主要在频域表现其特性,如机械的振动,人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话,则相应的时域信号看起来可能杂乱无章,但在频域则解读非常方便。在实际中,当我们采集到一段信号之后,在没有任何先验信息的情况下,直觉是试图在时域能发现一些特征,如果在时域无所发现的话,很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述,就像一枚硬币的两面,看起来虽然有所不同,但实际上都是同一个东西。正因为如此,在通常的信号与系统的分析过程中,我们非常关心傅里叶变换。

既然人们只关心信号的频域表示,那么Z变换又是怎么回事呢?要说到Z变换,可能还要先追溯到拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法,主要是针对连续信号的分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人,他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代,国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心,在当时众多的科学大师中,拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文,其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。

回到正题,傅里叶变换虽然好用,而且物理意义明确,但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻,比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界,指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一,对信号乘上指数信号之后,很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件,这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程,在18世纪计算机还远未发明的时候,意义非常重大。从上面的分析可以看出,傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式,即所乘的指数信号为exp(0)。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广,是一种更普遍的表达形式。在进行信号与系统的分析过程中,可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果,然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法,已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。

Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换,由此我们就很容易理解Z变换的重要性,也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系,z=exp(Ts)。在Z变换中,单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。

Written by apollozhao

2010/08/06 at 09:37

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