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[zz]概率论与数理统计公式大全

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第一章  随机事件和概率 

(1)排列组合公式    从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
(2)加法和乘法原理 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n

某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。

(3)一些常见排列 重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)

顺序问题

(4)随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
(5)基本事件、样本空间和事件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;

②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示。

基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。

一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。

为必然事件,Ø为不可能事件。

不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

(6)事件的关系与运算 ①关系:如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):

如果同时有 , ,则称事件A与事件B等价,或称A等于BA=B

A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B

属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者 ,它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生:A B,或者AB。A B=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算:

结合率:A(BC)=(AB)C  A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)  (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率:     

(7)概率的公理化定义  为样本空间, 为事件,对每一个事件 都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:1° 0≤P(A)≤1,

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件  ,…有

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件 的概率。

(8)古典概型 1° ,2° 。

设任一事件 ,它是由 组成的,则有

P(A)=  =

 

(9)几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时,P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=Ω时,P( )=1- P(B)

(12)条件概率 定义 设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称 为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为 。条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)

(13)乘法公式 乘法公式:更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有

 ……  

(14)独立性 ①两个事件的独立性设事件  满足 ,则称事件  是相互独立的。

若事件  相互独立,且 ,则有

若事件  相互独立,则可得到      也都相互独立。

必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,

P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

(15)全概公式 设事件 满足1° 两两互不相容, 

 

则有

(16)贝叶斯公式 设事件  ,…,  满足1° , ,…, 两两互不相容, >0, 1,2,…, 

2° , 

,i=1,2,…n。

此公式即为贝叶斯公式。

,(  ,…, ),通常叫先验概率。 ,(  ,…, ),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。

(17)伯努利概型 我们作了 次试验,且满足u       每次试验只有两种可能结果, 发生或 不发生; 

u       次试验是重复进行的,即 发生的概率每次均一样;

u       每次试验是独立的,即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型,或称为 重伯努利试验。

 表示每次试验 发生的概率,则 发生的概率为 ,用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率,

 

第二章  随机变量及其分布 

(1)离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,…,

则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:

显然分布律应满足下列条件:

(1) , ,  (2) 。

(2)连续型随机变量的分布密度 设 是随机变量 的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有,

则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质:

1°  。

2°  。

(3)离散与连续型随机变量的关系 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布函数 设 为随机变量, 是任意实数,则函数 

称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。

分布函数具有如下性质:

1°     ;

2°  是单调不减的函数,即 时,有 ;

3°  ,  ;

4°  ,即 是右连续的;

5°  。

对于离散型随机变量, ;

对于连续型随机变量,  。

(5)八大分布 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布 在 重贝努里试验中,设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量,设为 ,则 可能取值为 。,  其中 ,

则称随机变量 服从参数为 , 的二项分布。记为 。

当 时, , ,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。

泊松分布 设随机变量 的分布律为, , ,

则称随机变量 服从参数为 的泊松分布,记为 或者P( )。

泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。

超几何分布 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。
几何分布 ,其中p≥0,q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
均匀分布 设随机变量 的值只落在[a,b]内,其密度函数 在[a,b]上为常数 ,即

a≤x≤b

其他,

则称随机变量 在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。

分布函数为

a≤x≤b
0,           x<a,
1,          x>b。

当a≤x1<x2≤b时,X落在区间( )内的概率为

指数分布
,
0,             ,

其中 ,则称随机变量X服从参数为 的指数分布。

X的分布函数为

,
x<0。

 

 

 记住积分公式:

 

正态分布 设随机变量 的密度函数为,  ,

其中  为常数,则称随机变量 服从参数为  的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 

具有如下性质:

1°  的图形是关于 对称的;

2°  当 时, 为最大值;

 ,则 的分布函数为

。。

参数  时的正态分布称为标准正态分布,记为 ,其密度函数记为

, ,

分布函数为

是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。

Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)= 。

如果 ~ ,则 ~ 。

(6)分位数 下分位表: ;上分位表: 。
(7)函数分布 离散型 已知 的分布列为,

的分布列( 互不相等)如下:

若有某些 相等,则应将对应的 相加作为 的概率。

连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)≤y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

第三章  二维随机变量及其分布

(1)联合分布 离散型 如果二维随机向量 (X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称 为离散型随机量。设 =(X,Y)的所有可能取值为 ,且事件{ = }的概率为pij,,称

为 =(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:

      YX y1 y2 yj
x1 p11 p12 p1j
x2 p21 p22 p2j
xi pi1

这里pij具有下面两个性质:

(1)pij≥0(i,j=1,2,…);

(2)

连续型 对于二维随机向量 ,如果存在非负函数 ,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有则称 为连续型随机向量;并称f(x,y)为 =(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质:

(1)       f(x,y)≥0;

(2)

(2)二维随机变量的本质
(3)联合分布函数 设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:

(1)

(2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即

当x2>x1时,有F(x2,y)≥F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2) ≥F(x,y1);

(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即

(4)

(5)对于

.

(4)离散型与连续型的关系
(5)边缘分布 离散型 X的边缘分布为;

Y的边缘分布为

连续型 X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为

 

(6)条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为

 

连续型 在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为;

在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为

 

(7)独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型 有零不独立
连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布 =0
随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立, h,g为连续函数,则:h(X1,X2,…Xm)和g(Xm+1,…Xn)相互独立。

特例:若X与Y独立,则:h(X)和g(Y)独立。

例如:若X与Y独立,则:3X+1和5Y-2独立。

(8)二维均匀分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)~U(D)。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

y

1

     D1

O      1          x

图3.1

y

D21

 

1

     

O              2  x

图3.2

y

D3

d

c

 a          b   x

图3.3

 

(9)二维正态分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其中 是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,

记为(X,Y)~N(

由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,

即X~N(

但是若X~N( ,(X,Y)未必是二维正态分布。

(10)函数分布 Z=X+Y 根据定义计算:对于连续型,fZ(z)=

两个独立的正态分布的和仍为正态分布( )。

n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。

Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若 相互独立,其分布函数分别为 ,则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为:
分布 设n个随机变量 相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的 分布,记为W~ ,其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。

分布满足可加性:设

 

t分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,且可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T~t(n)。

 

F分布 设 ,且X与Y独立,可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F~f(n1, n2).

 

第四章  随机变量的数字特征

(1)一维随机变量的数字特征 离散型 连续型
期望期望就是平均值 设X是离散型随机变量,其分布律为P( )=pk,k=1,2,…,n,(要求绝对收敛) 设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),(要求绝对收敛)
函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)
方差D(X)=E[X-E(X)]2

标准差

①对于正整数k,称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即νk=E(Xk)= , k=1,2, ….

②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩,记为 ,即

= , k=1,2, ….

①对于正整数k,称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即νk=E(Xk)=

k=1,2, ….

②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩,记为 ,即

=

k=1,2, ….

切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对于任意正数ε,有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率

的一种估计,它在理论上有重要意义。

(2)期望的性质 (1)       E(C)=C(2)       E(CX)=CE(X)

(3)       E(X+Y)=E(X)+E(Y),

(4)       E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X和Y独立;

充要条件:X和Y不相关。

(3)方差的性质 (1)       D(C)=0;E(C)=C(2)       D(aX)=a2D(X);  E(aX)=aE(X)

(3)       D(aX+b)= a2D(X);  E(aX+b)=aE(X)+b

(4)       D(X)=E(X2)-E2(X)

(5)       D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立;

充要条件:X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

(4)常见分布的期望和方差 期望 方差
0-1分布 p
二项分布 np
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布
n 2n
t分布 0 (n>2)
(5)二维随机变量的数字特征 期望
函数的期望
方差
协方差 对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩,记为 ,即与记号 相对应,X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为 与 。
相关系数 对于随机变量X与Y,如果D(X)>0, D(Y)>0,则称为X与Y的相关系数,记作 (有时可简记为 )。

| |≤1,当| |=1时,称X与Y完全相关:

完全相关

而当 时,称X与Y不相关。

以下五个命题是等价的:

① ;

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y);

⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵
混合矩 对于随机变量X与Y,如果有 存在,则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩,记为 ;k+l阶混合中心矩记为:
(6)协方差的性质 (i)              cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii)          cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

(iii)       cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv)              cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

(7)独立和不相关 (i)                   若随机变量X与Y相互独立,则 ;反之不真。(ii)               若(X,Y)~N( ),

则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。

第五章  大数定律和中心极限定理

(1)大数定律 切比雪夫大数定律 设随机变量X1,X2,…相互独立,均具有有限方差,且被同一常数C所界:D(Xi)<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε,有特殊情形:若X1,X2,…具有相同的数学期望E(XI)=μ,则上式成为

 

伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数ε,有伯努利大数定律说明,当试验次数n很大时,事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

辛钦大数定律 设X1,X2,…,Xn,…是相互独立同分布的随机变量序列,且E(Xn)=μ,则对于任意的正数ε有
(2)中心极限定理 列维-林德伯格定理 设随机变量X1,X2,…相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差: ,则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x,有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

棣莫弗-拉普拉斯定理 设随机变量 为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布,则对于任意实数x,有
(3)二项定理 若当 ,则超几何分布的极限分布为二项分布。
(4)泊松定理 若当 ,则其中k=0,1,2,…,n,…。

二项分布的极限分布为泊松分布。

第六章 样本及抽样分布

(1)数理统计的基本概念 总体 在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。
个体 总体中的每一个单元称为样品(或个体)。
样本 我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量,一般用n表示。在一般情况下,总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时, 表示n个随机变量(样本);在具体的一次抽取之后, 表示n个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。
样本函数和统计量 设 为总体的一个样本,称( )

为样本函数,其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数,则称 ( )为一个统计量。

常见统计量及其性质 样本均值样本方差

样本标准差

样本k阶原点矩

样本k阶中心矩

, ,

, ,

其中 ,为二阶中心矩。

(2)正态总体下的四大分布 正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数
t分布 设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数其中 表示自由度为n-1的 分布。
F分布 设 为来自正态总体 的一个样本,而 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数其中

表示第一自由度为 ,第二自由度为 的F分布。

(3)正态总体下分布的性质 与 独立。

第七章  参数估计

(1)点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数 ,则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ,即 。又设 为总体X的n个样本值,其样本的k阶原点矩为这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有

由上面的m个方程中,解出的m个未知参数 即为参数( )的矩估计量。

若 为 的矩估计, 为连续函数,则 为 的矩估计。

极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为 ,其中 为未知参数。又设 为总体的一个样本,称为样本的似然函数,简记为Ln.

当总体X为离型随机变量时,设其分布律为 ,则称

为样本的似然函数。

若似然函数 在 处取到最大值,则称 分别为 的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。

若 为 的极大似然估计, 为单调函数,则 为 的极大似然估计。

(2)估计量的评选标准 无偏性 设 为未知参数 的估计量。若E ( )= ,则称 为 的无偏估计量。E( )=E(X), E(S2)=D(X)
有效性 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ,则称 有效。
一致性 设 是 的一串估计量,如果对于任意的正数 ,都有则称 为 的一致估计量(或相合估计量)。

若 为 的无偏估计,且 则 为 的一致估计。

只要总体的E(X)和D(X)存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

(3)区间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发,找出两个统计量 与 ,使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ,即那么称区间 为 的置信区间, 为该区间的置信度(或置信水平)。
单正态总体的期望和方差的区间估计 设 为总体 的一个样本,在置信度为 下,我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下:(i)选择样本函数;

(ii)由置信度 ,查表找分位数;

(iii)导出置信区间 。

已知方差,估计均值 (i)选择样本函数(ii) 查表找分位数

(iii)导出置信区间

 

未知方差,估计均值 (i)选择样本函数(ii)查表找分位数

(iii)导出置信区间

 

方差的区间估计 (i)选择样本函数(ii)查表找分位数

(iii)导出 的置信区间

 

第八章  假设检验

基本思想 假设检验的统计思想是,概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的,即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定H0是不正确的,我们拒绝接受H0;如果由此没有导出不合理的现象,则不能拒绝接受H0,我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设,用H1表示。

这里所说的小概率事件就是事件 ,其概率就是检验水平α,通常我们取α=0.05,有时也取0.01或0.10。

基本步骤 假设检验的基本步骤如下:(i)              提出零假设H0

(ii)          选择统计量K

(iii)       对于检验水平α查表找分位数λ;

(iv)          由样本值 计算统计量之值K

将 进行比较,作出判断:当 时否定H0,否则认为H0相容。

两类错误 第一类错误 H0为真时,而样本值却落入了否定域,按照我们规定的检验法则,应当否定H0。这时,我们把客观上H0成立判为H0为不成立(即否定了真实的假设),称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误,记 为犯此类错误的概率,即P{否定H0|H0为真}= ;

此处的α恰好为检验水平。

第二类错误 H1为真时,而样本值却落入了相容域,按照我们规定的检验法则,应当接受H0。这时,我们把客观上H0。不成立判为H0成立(即接受了不真实的假设),称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误,记 为犯此类错误的概率,即P{接受H0|H1为真}= 。
两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是,当容量n一定时, 变小,则 变大;相反地, 变小,则 变大。取定 要想使 变小,则必须增加样本容量。在实际使用时,通常人们只能控制犯第一类错误的概率,即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时,则应把α取得很小,如0.01,甚至0.001。反之,则应把α取得大些。

单正态总体均值和方差的假设检验

条件 零假设 统计量 对应样本函数分布 否定域
已知 N(0,1)
未知
未知

from: http://blog.renren.com/blog/305715411/495884546

Written by apollozhao

2012/09/14 at 08:43

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