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[zz]最大公约数(Gcd)两种算法(Euclid && Stein) [整理]

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from: http://www.cnblogs.com/drizzlecrj/archive/2007/09/14/892340.html

很老的东东了,其实也没啥好整理的,网上很多资料了,就当备用把:-)

1. 欧几里德算法和扩展欧几里德算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a – kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:

int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}

当然你也可以写成迭代形式:

int Gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}

本质上都是用的上面那个原理。

补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p,q使得p * a+q  * b = Gcd(a, b)  (解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现:

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t – a / b * y;

return r;
}

把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a’ = b, b’ = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a’x + b’y = Gcd(a’, b’)
由于b’ = a % b = a – a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a’x + b’y = Gcd(a’, b’)  ===>
bx + (a – a / b * b)y = Gcd(a’, b’) = Gcd(a, b)  ===>
ay +b(x – a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y)

2. Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 (注:说到抛弃除法和取模,其实辗转相除法可以写成减法的形式)

Stein算法由J. Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:

gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

有了上述规律就可以给出Stein算法如下:

如果A=0,B是最大公约数,算法结束
如果B=0,A是最大公约数,算法结束
设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
如果An和Bn都是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn /2,Cn+1 =Cn *2(注意,乘2只要把整数左移一位即可,除2只要把整数右移一位即可)
如果An是偶数,Bn不是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数)
如果Bn是偶数,An不是偶数,则Bn+1 =Bn /2,An+1 =An ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数)
如果An和Bn都不是偶数,则An+1 =|An -Bn|,Bn+1 =min(An,Bn),Cn+1 =Cn
n++,转4
这个算法的原理很显然,所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

给出一个C++的实现:

int Gcd(int a, int b)
{
if(a == 0) return b;
if(b == 0) return a;
if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
else if(a % 2 == 0)  return gcd(a >> 1, b);
else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);
else return gcd(abs(a – b), Min(a, b));
}

考虑欧几里德算法,最恶劣的情况是,每次迭代a = 2b -1,这样,迭代后,r= b-1。如果a小于2N,这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法,每次迭代后,显然AN+1BN+1≤ ANBN/2,最大迭代次数也不超过4N次。也就是说,迭代次数几乎是相等的。但是,需要注意的是,对于大素数,试商法将使每次迭代都更复杂,因此对于大素数Stein将更有优势

练习:
OJ上面的赤裸裸的Gcd算法的题不多,大多都是套了一个外壳。
找了两道,可以试试看
HDOJ 2028 Lowest Common Multiple Plus 这个是求n个数的最小公倍数(有了最大公约数,最小公倍数应该很容易了)
ZJU 2678 Bishops on a Toral Board 这个题目要发现规律,不错的题目

Written by apollozhao

2010/12/14 at 21:29

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